Теория
📈
I. Парабола и её вершина
Выделение полного квадрата, координаты вершины
▼
Стандартная форма
Квадратичная функция $f(x) = ax^2 + bx + c$ ($a \neq 0$) — парабола. Выделим полный квадрат:
$$f(x) = a\!\left(x + \frac{b}{2a}\right)^{\!2} - \frac{D}{4a}$$
где $D = b^2 - 4ac$ — дискриминант.
Координаты вершины
$$x_0 = -\frac{b}{2a}, \qquad y_0 = -\frac{D}{4a}$$
💡Вершина — наивысшая или наинизшая точка параболы. При $a>0$ ветви вверх, при $a<0$ — вниз.
Связь D с расположением параболы
Ключевой приём
⭐Если для некоторого числа $t$ выполнено $f(t) < 0$ при $a > 0$ — уравнение имеет два различных корня. Это избавляет от вычисления дискриминанта!
↔️
II. Корни по разные стороны от точки $t$
Один корень левее $t$, другой правее
▼
Ситуация
Нужно: $x_1 < t < x_2$, где $x_1, x_2$ — корни уравнения $f(x) = 0$.
$a>0$: $f(t) < 0$
$a<0$: $f(t) > 0$
✅ Утверждение 1
Корни $f(x) = ax^2+bx+c$ лежат по разные стороны от $t$ тогда и только тогда, когда:
$$a \cdot f(t) < 0$$
Это единственное условие — дискриминант проверять не нужно!
➡️
III. Оба корня правее (или левее) точки $t$
Три условия одновременно
▼
Ситуация: оба корня $> t$
$x_0 > t$, $f(t) > 0$
✅ Утверждение 2 — оба корня больше $t$
🪞Оба корня меньше $t$ — те же условия, но $x_0 < t$.
📦
IV. Корни внутри отрезка $[s;\, t]$
Четыре условия; отрезок между корнями
▼
Оба корня принадлежат $(s; t)$
$a > 0$: $f(s), f(t) > 0$
✅ Утверждение 3 — оба корня в $(s; t)$
① $D \geq 0$ ② $a \cdot f(s) > 0$ ③ $a \cdot f(t) > 0$ ④ $s < x_0 < t$
Отрезок $[s; t]$ лежит между корнями
✅ Утверждение 4 — $[s; t]$ между корнями
$$a \cdot f(s) < 0 \quad \text{и} \quad a \cdot f(t) < 0$$
Т.е. оба конца отрезка лежат между корнями (там $f$ отрицательна при $a>0$).
⚠️Готовые формулы — лишь шаблон. В каждой задаче делай рисунок и обосновывай условия самостоятельно — ситуации бывают нестандартные!
Задачи с разбором