20 задач ЕГЭ с полным разбором. Учимся выражать параметр через x, строить график и считать пересечения с горизонталью — главный инструмент задания 18.
6
уроков
20
задач ЕГЭ
18
задание профиля
1
Суть графического метода
Теория · ~12 мин
Графический метод — это способ решать задачи с параметром, переводя их на язык графиков. Вместо алгебраических преобразований мы рисуем функцию и смотрим, сколько раз горизонтальная прямая её пересекает.
Идея: из уравнения \(f(x, a) = 0\) выражаем \(a = g(x)\) — и это уже обычная функция! Прямая \(a = \text{const}\) пересекает график \(y = g(x)\) ровно столько раз, сколько решений имеет исходное уравнение при данном \(a\).
Шаг 3: горизонталь \(a = c\) пересекает график в N точках ⟺ уравнение имеет N решений
📌 Алгоритм решения
1) Выразить \(a\) через \(x\): привести к виду \(a = g(x)\). 2) Исследовать функцию \(g(x)\): область определения, нули, экстремумы, асимптоты. 3) Построить (мысленно или на бумаге) график \(y = g(x)\). 4) Подсчитать, при каких значениях \(a\) горизонтальная прямая пересекает график нужное число раз. 5) Записать ответ как множество значений \(a\).
💡
Особые точки графика — ключ к ответу. Чаще всего границы ответа — это значения функции в экстремумах, на концах ОДЗ или в точках разрыва. Именно там число пересечений меняется.
⚠️
При выражении \(a = g(x)\) важно не потерять область определения. Если исходное уравнение требует, например, \(x > 0\) или \(x \neq 2\) — это ограничение на ОДЗ обязательно учитывается.
Разобранные примеры
📝 Задача 1 — классический вход в метод
Задача: При каких значениях \(a\) уравнение \(x^2 - 4x + a = 0\) имеет два различных корня?
Решение графическим методом:
Выражаем параметр: \(a = 4x - x^2 = -(x-2)^2 + 4\).
Строим \(y = -(x-2)^2 + 4\) — парабола ветвями вниз, вершина \((2;\, 4)\), нули при \(x = 0\) и \(x = 4\).
Горизонтальная прямая \(a = \text{const}\) пересекает эту параболу:
• в 2 точках, если \(a < 4\) (прямая ниже вершины, но выше нулей или вообще не важно — главное, пересекает восходящую и нисходящую ветви)
• в 1 точке, если \(a = 4\) (касается вершины)
• в 0 точках, если \(a > 4\) (выше параболы)
Но нужно убедиться: прямая должна пересекать параболу именно в 2 точках.
Парабола уходит в \(-\infty\) на обоих концах, вершина равна 4.
⟹ Два корня при \(a < 4\).
Ответ: два различных корня при \(a < 4\)
📝 Задача 2 — ровно одно решение
Задача: Найдите все значения \(a\), при которых уравнение \(x^2 + 2x = a\) имеет ровно одно решение.
Решение:
Уже в нужной форме: \(a = x^2 + 2x = (x+1)^2 - 1\).
График: парабола ветвями вверх, вершина \((-1;\, -1)\).
Горизонталь \(a = c\) пересекает параболу:
• в 2 точках при \(a > -1\)
• в 1 точке при \(a = -1\) (касается вершины)
• в 0 точках при \(a < -1\)
Ровно одно решение только при касании вершины.
Ответ: ровно одно решение при \(a = -1\)
Самостоятельно
При каких \(a\) уравнение \(x^2 - 6x + a = 0\) имеет два различных корня?
Лёгкое
Выразите \(a = 6x - x^2\), найдите максимум этой функции. Два корня — горизонталь пересекает параболу в двух точках, т.е. прямая ниже вершины.
Решение:
\(a = 6x - x^2 = -(x-3)^2 + 9\).
Парабола ветвями вниз, вершина \((3;\, 9)\).
Два пересечения горизонтали с параболой ⟺ \(a < 9\).
Ответ: a < 9
2
Линейные и квадратные уравнения с параметром
Основной блок · ~20 мин
В этом уроке разбираем задачи, где после выражения параметра получается линейная или квадратная функция. Это самые базовые задачи ЕГЭ на параметры, но именно здесь нужно выработать аккуратную технику.
Особое внимание — случаю, когда при выражении \(a\) делаем деление на выражение с \(x\): тогда нужно отдельно рассмотреть случай, когда знаменатель равен нулю.
💡
Квадратная функция \(y = \alpha x^2 + \beta x + \gamma\): вершина при \(x_0 = -\frac{\beta}{2\alpha}\), значение вершины \(y_0 = \gamma - \frac{\beta^2}{4\alpha}\). Именно \(y_0\) — граничное значение \(a\).
📝 Задача 3 — уравнение с квадратом, нужно N решений
Задача: При каких \(a\) уравнение \(x^2 - 2x - 3 = a\) имеет ровно два решения?
Решение:
Выражаем: \(a = x^2 - 2x - 3 = (x-1)^2 - 4\).
Парабола ветвями вверх, вершина \((1;\, -4)\). Нули при \(x = -1\) и \(x = 3\).
Горизонталь \(a = c\):
• Два пересечения при \(a > -4\)
• Одно пересечение при \(a = -4\) (вершина)
• Нет пересечений при \(a < -4\)
Ровно два решения при \(a > -4\).
Ответ: \(a > -4\)
📝 Задача 4 — ограниченная область определения
Задача: При каких \(a\) уравнение \(x^2 - 4 = a(x-2)\) имеет единственное решение?
Решение:
Разложим левую часть: \((x-2)(x+2) = a(x-2)\).
Случай 1: \(x = 2\). Подставляем: \(0 = 0\) — верно при любом \(a\). Значит \(x = 2\) — решение при любом \(a\).
Случай 2: \(x \neq 2\). Делим на \((x-2)\): \(x + 2 = a\), т.е. \(x = a - 2\).
Это решение существует и отлично от 2, если \(a - 2 \neq 2\), т.е. \(a \neq 4\).
Итого:
• При \(a \neq 4\): два решения — \(x = 2\) и \(x = a - 2\).
• При \(a = 4\): \(x = a - 2 = 2\) совпадает с первым, т.е. единственное решение \(x = 2\).
Ответ: единственное решение при \(a = 4\)
📝 Задача 5 — задача на количество корней с квадратом
Задача: При каких \(a\) уравнение \(x^2 - 4|x| + 3 = a\) имеет ровно четыре решения?
Решение:
Выражаем: \(a = x^2 - 4|x| + 3\). Так как функция чётная, строим для \(x \geq 0\):
\(g(x) = x^2 - 4x + 3 = (x-2)^2 - 1\) при \(x \geq 0\).
Минимум на \([0; +\infty)\): при \(x = 2\), \(g(2) = -1\).
При \(x = 0\): \(g(0) = 3\).
Полный график (с учётом симметрии):
• Два «жёлоба» с вершинами в \((\pm 2;\, -1)\).
• При \(x = 0\): значение равно 3 (локальный максимум).
Горизонталь \(a = c\) пересекает полный график:
• \(a < -1\): 0 решений
• \(a = -1\): 2 решения (\(x = \pm 2\))
• \(-1 < a < 3\): 4 решения (на каждой ветви по 2)
• \(a = 3\): 3 решения (точка \(x = 0\) плюс по одной на ветвях)
• \(a > 3\): 2 решения
Ровно 4 решения при \(-1 < a < 3\).
Ответ: \(-1 < a < 3\)
Самостоятельно
При каких \(a\) уравнение \(x^2 + 4x + a = 0\) не имеет вещественных корней?
Лёгкое
Выразите \(a = -x^2 - 4x\). Найдите максимум этой функции. Нет корней — горизонталь выше максимума параболы.
Решение:
\(a = -x^2 - 4x = -(x^2 + 4x) = -(x+2)^2 + 4\).
Парабола ветвями вниз, максимум равен 4 при \(x = -2\).
Нет пересечений горизонтали с параболой ⟺ \(a > 4\).
Ответ: a > 4
Найдите все \(a\), при которых уравнение \(x^2 - 2ax + a^2 - 1 = 0\) имеет хотя бы одно решение в интервале \((0;\, 2)\).
Среднее
Перепишите в форме \(a^2 - 2ax + (x^2 - 1) = 0\) — квадратное уравнение относительно \(a\). Или: выразите параметр иначе. Заметьте, что уравнение — это \((x-a)^2 = 1\), откуда \(x = a \pm 1\).
Решение:
\((x-a)^2 = 1\) → \(x = a+1\) или \(x = a-1\).
Нужно хотя бы одно из них в \((0;\, 2)\):
— \(a + 1 \in (0;\, 2)\) → \(a \in (-1;\, 1)\)
— \(a - 1 \in (0;\, 2)\) → \(a \in (1;\, 3)\)
Объединение: \(a \in (-1;\, 3)\), исключая \(a = 1\)? Нет — при \(a = 1\) оба дают \(x = 2 \notin (0,2)\) и \(x = 0 \notin (0,2)\). Так что \(a = 1\) не подходит.
Ответ: \((-1;\, 1) \cup (1;\, 3)\). Числовой ответ — правый конец: 3
3
Параметры в уравнениях с модулями
Важный тип · ~20 мин
Уравнения вида \(|f(x)| = a\) или \(|f(x)| = g(x) + a\) — один из самых частых типов в ЕГЭ. Графически это означает: строим \(y = |f(x)|\), и число пересечений с горизонталью \(y = a\) даёт число решений.
Ключевой приём: отразить вниз уходящие ветви параболы/функции относительно оси Ox. Это и даёт форму графика \(y = |f(x)|\).
📌 Форма графика |f(x)|
Строим \(y = f(x)\). Всё, что ниже оси Ox (отрицательные значения), отражаем вверх. Ось Ox становится «зеркалом» для нижней части графика.
📝 Задача 6 — классика с модулем квадратного трёхчлена
Задача: При каких \(a\) уравнение \(|x^2 - 4x + 3| = a\) имеет ровно четыре решения?
Решение:
Сначала строим \(y = x^2 - 4x + 3 = (x-2)^2 - 1\).
Нули: \(x = 1\) и \(x = 3\). Минимум: \(-1\) при \(x = 2\).
Берём модуль: участок между нулями (где \(y < 0\)) отражается вверх.
Получаем «горб» с максимумом 1 в точке \(x = 2\) — между нулями.
График \(y = |x^2 - 4x + 3|\):
• При \(x \leq 1\) и \(x \geq 3\): исходная парабола (ветви вверх).
• При \(1 \leq x \leq 3\): отражённый «горб» с максимумом 1 при \(x = 2\).
Горизонталь \(a = c\):
• \(a < 0\): нет решений
• \(a = 0\): два решения (\(x = 1\) и \(x = 3\))
• \(0 < a < 1\): четыре решения (два на «горбе», два на внешних ветвях)
• \(a = 1\): три решения (вершина горба + две внешние)
• \(a > 1\): два решения (только внешние ветви)
Ответ: ровно четыре решения при \(0 < a < 1\)
📝 Задача 7 — модуль с линейной функцией внутри
Задача: При каких \(a\) уравнение \(|2x - 4| + |x - 1| = a\) имеет решения?
Решение:
Обозначим \(g(x) = |2x - 4| + |x - 1| = 2|x - 2| + |x - 1|\).
Критические точки: \(x = 1\) и \(x = 2\).
При \(x < 1\): \(g = -(2x-4) - (x-1) = -3x + 5\). При \(x = 1\): \(g = 2\).
При \(1 \leq x \leq 2\): \(g = -(2x-4) + (x-1) = -x + 3\). При \(x = 2\): \(g = 1\).
При \(x > 2\): \(g = (2x-4) + (x-1) = 3x - 5\). При \(x = 2\): \(g = 1\).
Минимум функции — \(1\) при \(x = 2\). Функция уходит в \(+\infty\) на обоих концах.
Уравнение \(g(x) = a\) имеет решения ⟺ \(a \geq 1\).
Ответ: уравнение имеет решения при \(a \geq 1\)
Самостоятельно
При каких \(a\) уравнение \(|x^2 - 2x - 3| = a\) имеет ровно три решения?
Среднее
Постройте \(y = x^2 - 2x - 3 = (x-1)^2 - 4\). Нули при \(x = -1\) и \(x = 3\). Отразите нижнюю часть вверх. Горизонталь касается либо вершин горба, либо вершины внешней параболы.
Решение:
\(x^2 - 2x - 3 = (x-1)^2 - 4\). Нули: \(x = -1\), \(x = 3\). Минимум: \(-4\) при \(x = 1\).
После отражения: горб с максимумом 4 при \(x = 1\), нули в \(x = -1\) и \(x = 3\).
Горизонталь даёт три решения когда касается вершины горба (одно пересечение там + два на внешних ветвях).
\(a = 4\): три решения: \(x = 1\), \(x = -1 - \sqrt{?}\)... проверим: внешние ветви при \(a = 4\):
\(x^2 - 2x - 3 = 4\) → \(x^2 - 2x - 7 = 0\) → \(x = 1 \pm 2\sqrt{2}\). Итого три точки.
Ответ: a = 4
При каких \(a\) уравнение \(|x^2 - 5x + 4| = a\) имеет ровно шесть решений?
Сложное
Нули трёхчлена: \(x = 1\) и \(x = 4\). Вершина: \(x = 2.5\), \(y = -\frac{9}{4}\). После отражения горб имеет максимум \(\frac{9}{4}\). Шесть пересечений — прямая должна пересекать и оба "отражённых" участка, и оба внешних.
Решение:
\(f(x) = x^2 - 5x + 4 = (x - 2.5)^2 - \frac{9}{4}\). Нули: 1 и 4. Минимум: \(-2.25\) при \(x = 2.5\).
График \(|f(x)|\): горб от \(x=1\) до \(x=4\) с максимумом \(2.25\), внешние ветви уходят в \(+\infty\).
Горизонталь \(a = c\): пересекает 6 раз, если на горбе 2 пересечения (т.е. \(0 < a < 2.25\)) и на каждой внешней ветви по 2? Нет — на каждой внешней ветви по 1 пересечению при любом \(a > 0\).
При \(0 < a < 2.25\): горб — 2 точки, левая ветвь — 1 точка, правая ветвь — 1 точка. Итого 4.
Шесть решений невозможно для этой функции.
Пересмотрим: у горба два «горба» нет — это один горб. Максимум 6 решений не достигается.
Ответ: шесть решений не существует (максимум 4). Этот тип задачи требует двух горбов.
4
Дробно-рациональные и степенные функции
Продвинутый уровень · ~25 мин
Когда после выражения параметра получается дробно-рациональная функция, нужно особо тщательно исследовать:
1) Область определения (исключить нули знаменателя). 2) Вертикальные асимптоты (в точках разрыва). 3) Горизонтальную или наклонную асимптоту (поведение при \(x \to \pm\infty\)). 4) Экстремумы (производная = 0).
📝 Задача 8 — гипербола и параметр
Задача: При каких \(a\) уравнение \(\dfrac{x+3}{x-1} = a\) имеет решение?
Решение:
\(a = \dfrac{x+3}{x-1}\). ОДЗ: \(x \neq 1\).
Преобразуем: \(a = \dfrac{(x-1)+4}{x-1} = 1 + \dfrac{4}{x-1}\).
При \(x \to 1^+\): \(a \to +\infty\). При \(x \to 1^-\): \(a \to -\infty\).
При \(x \to \pm\infty\): \(a \to 1\).
График — гипербола с центром \((1;\, 1)\). Горизонтальная асимптота \(a = 1\).
Функция принимает все значения кроме \(a = 1\) (горизонтальная асимптота).
Уравнение имеет решение при всех \(a \neq 1\).
Ответ: при всех \(a \neq 1\)
📝 Задача 9 — дробная функция с экстремумами
Задача: При каких \(a\) уравнение \(\dfrac{x^2 - 3}{x} = a\) имеет ровно два различных решения?
Решение:
\(a = \dfrac{x^2 - 3}{x} = x - \dfrac{3}{x}\). ОДЗ: \(x \neq 0\).
Производная: \(a'(x) = 1 + \dfrac{3}{x^2} > 0\) — всегда положительна!
Подождём: \(a'(x) = 1 + \frac{3}{x^2}\). Это всегда > 0, значит функция возрастает на каждой из ветвей \(x > 0\) и \(x < 0\).
На ветви \(x > 0\): при \(x \to 0^+\), \(a \to -\infty\); при \(x \to +\infty\), \(a \to +\infty\). Функция пробегает все \(\mathbb{R}\) — одно пересечение с любой горизонталью.
На ветви \(x < 0\): при \(x \to 0^-\), \(a \to +\infty\); при \(x \to -\infty\), \(a \to -\infty\). Тоже все \(\mathbb{R}\) — одно пересечение.
Итого: каждая горизонталь даёт ровно 2 пересечения — по одному на каждой ветви. Любое \(a\).
Но проверим: нет ли точек пересечения ветвей? При \(a = 0\): \(x - 3/x = 0\), \(x^2 = 3\), два решения \(x = \pm\sqrt{3}\). Верно — 2 решения.
Таким образом, уравнение имеет ровно два решения при любом \(a \in \mathbb{R}\).
Ответ: при всех \(a \in \mathbb{R}\)
📝 Задача 10 — дробь с максимумом
Задача: При каких \(a\) уравнение \(\dfrac{4x}{x^2 + 1} = a\) имеет ровно одно решение?
Решение:
\(a = \dfrac{4x}{x^2+1}\). ОДЗ: все \(x\).
При \(x \to \pm\infty\): \(a \to 0\). При \(x = 0\): \(a = 0\).
Производная: \(a'(x) = \dfrac{4(x^2+1) - 4x \cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \dfrac{4 - 4x^2}{(x^2+1)^2}\).
\(a'(x) = 0\): \(x = \pm 1\).
При \(x = 1\): \(a = \frac{4}{2} = 2\) — максимум.
При \(x = -1\): \(a = \frac{-4}{2} = -2\) — минимум.
График: «S-образная» кривая с максимумом 2 и минимумом −2, горизонтальная асимптота \(a = 0\).
Горизонталь \(a = c\):
• \(|a| < 2\): три пересечения (включая нижнюю, среднюю и верхнюю части)
Нет: нарисуем точнее. Функция на \((-\infty; -1]\) убывает от 0 до -2, на \([-1; 0]\) возрастает от -2 до 0, на \([0; 1]\) возрастает от 0 до 2, на \([1; +\infty)\) убывает от 2 до 0.
Горизонталь \(a = c\):
• \(a > 2\) или \(a < -2\): нет пересечений
• \(a = 2\) или \(a = -2\): одно пересечение (в экстремуме)
• \(0 < a < 2\) или \(-2 < a < 0\): два пересечения
• \(a = 0\): одно пересечение (\(x = 0\))
Ровно одно решение: \(a = 2\), \(a = -2\), \(a = 0\).
Ответ: одно решение при \(a \in \{-2,\; 0,\; 2\}\)
Самостоятельно
При каких \(a\) уравнение \(\dfrac{x^2+1}{x} = a\) не имеет решений?
Среднее
Выразите \(a = x + \frac{1}{x}\). Найдите экстремумы: производная \(1 - \frac{1}{x^2} = 0\) при \(x = \pm 1\). Вычислите значения в экстремумах.
Решение:
\(a = x + \frac{1}{x}\). Производная: \(1 - \frac{1}{x^2} = 0\) → \(x = \pm 1\).
При \(x = 1\): \(a = 2\) (минимум на \(x > 0\)).
При \(x = -1\): \(a = -2\) (максимум на \(x < 0\)).
На \(x > 0\): функция убывает от \(+\infty\) до 2, затем возрастает до \(+\infty\) — принимает значения \([2; +\infty)\).
На \(x < 0\): принимает значения \((-\infty;\, -2]\).
Нет решений при \(-2 < a < 2\).
Ответ: при -2 < a < 2
При каких \(a\) уравнение \(\dfrac{x^2 - x + 1}{x - 1} = a\) имеет ровно одно решение?
Сложное
ОДЗ: \(x \neq 1\). Выделите целую часть дроби. Найдите производную, приравняйте нулю и найдите экстремумы. Ровно одно решение — горизонталь касается экстремума или совпадает с асимптотой.
Решение:
\(\frac{x^2-x+1}{x-1} = \frac{(x-1)^2 + (x-1) + 1}{x-1} = (x-1) + 1 + \frac{1}{x-1}\).
Пусть \(t = x - 1 \neq 0\): \(a = t + 1 + \frac{1}{t}\).
Производная по \(t\): \(1 - \frac{1}{t^2} = 0\) → \(t = \pm 1\).
При \(t = 1\) (т.е. \(x = 2\)): \(a = 1 + 1 + 1 = 3\).
При \(t = -1\) (т.е. \(x = 0\)): \(a = -1 + 1 - 1 = -1\).
На \(t > 0\): минимум 3. На \(t < 0\): максимум -1.
Функция принимает значения \((-\infty;\, -1] \cup [3;\, +\infty)\).
Ровно одно решение при \(a = 3\) (минимум, касание) или \(a = -1\) (максимум).
Стандартный ответ ЕГЭ: a = 3 (или a = −1, если принимается оба)
5
Тригонометрические уравнения с параметром
ЕГЭ-уровень · ~25 мин
Тригонометрические задачи с параметром — особый класс. Здесь применяется тот же принцип: \(\sin(\ldots) = a\) или \(\cos(\ldots) = a\). Графически это пересечение синусоиды/косинусоиды с прямой \(y = a\).
Важно: синус и косинус периодичны, поэтому нужно аккуратно считать пересечения на нужном промежутке. Часто задача ограничивает \(x\), и мы работаем не со всей функцией, а с её куском.
📝 Задача 11 — sin с параметром, счёт решений на промежутке
Задача: При каких \(a\) уравнение \(\sin x = a\) имеет ровно два решения на \([0;\, 2\pi]\)?
Решение:
Строим \(y = \sin x\) на \([0;\, 2\pi]\):
• На \([0;\, \pi]\): возрастает от 0 до 1 (при \(x = \pi/2\)), затем убывает до 0.
• На \([\pi;\, 2\pi]\): убывает от 0 до −1 (при \(x = 3\pi/2\)), затем возрастает до 0.
Горизонталь \(a = c\):
• \(a = 1\): одно пересечение (\(x = \pi/2\))
• \(0 < a < 1\): два пересечения (оба на первой полуволне)
• \(a = 0\): три пересечения (\(x = 0, \pi, 2\pi\))
• \(-1 < a < 0\): два пересечения (оба на второй полуволне)
• \(a = -1\): одно пересечение (\(x = 3\pi/2\))
• \(|a| > 1\): нет решений
Ровно два решения: \(0 < a < 1\) и \(-1 < a < 0\), то есть \(a \in (-1;\, 0) \cup (0;\, 1)\).
Ответ: \(a \in (-1;\, 0) \cup (0;\, 1)\)
📝 Задача 12 — уравнение с двойным аргументом
Задача: При каких \(a\) уравнение \(\cos 2x = a\) имеет ровно 4 решения на \([0;\, 2\pi]\)?
Решение:
\(y = \cos 2x\) на \([0;\, 2\pi]\) — это два полных периода косинуса.
Косинус на \([0;\, 2\pi]\) проходит один полный период. Значит \(\cos 2x\) на \([0;\, 2\pi]\) проходит два полных периода.
Каждый период: максимум 1 (при \(2x = 0, 2\pi, 4\pi\), т.е. \(x = 0, \pi, 2\pi\)) и минимум −1 (при \(x = \pi/2\) и \(x = 3\pi/2\)).
За два периода горизонталь:
• \(a = 1\): 3 пересечения (\(x = 0, \pi, 2\pi\))
• \(-1 < a < 1\): 4 пересечения
• \(a = -1\): 2 пересечения
Ровно 4 решения при \(-1 < a < 1\).
Ответ: \(-1 < a < 1\)
📝 Задача 13 — тригонометрия + параметр в сдвиге
Задача: При каких \(a\) уравнение \(\sin(x + a) = \frac{1}{2}\) имеет решение при \(x \in [0;\, \pi]\)?
Решение:
Замена: \(t = x + a\), \(x \in [0;\, \pi]\) → \(t \in [a;\, a + \pi]\).
Нужно: \(\sin t = \frac{1}{2}\) имеет решение при \(t \in [a;\, a + \pi]\).
\(\sin t = \frac{1}{2}\): частные решения \(t = \frac{\pi}{6} + 2\pi k\) и \(t = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k\).
Нужно хотя бы одно из них попасть в \([a;\, a + \pi]\).
Общее условие: \(\sin t = \frac{1}{2}\) имеет решение на промежутке длины \(\pi\) всегда, кроме случаев, когда промежуток «попадает в зазор» между решениями.
Решения расположены через \(\pi/3\) и \(5\pi/3\) в пределах каждого периода... Проще: длина промежутка \(\pi\) — ровно полпериода. Поэтому решение найдётся при любом \(a\) (длина дуги без решений = \(\pi\), длина промежутка = \(\pi\) — граничный случай).
Уравнение имеет решение при всех \(a\), кроме тех, где промежуток \([a;\, a+\pi]\) полностью лежит в «мёртвой зоне» длиной \(\pi\) (между \(\frac{5\pi}{6}\) и \(\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6}\)). Т.е. при \(\frac{5\pi}{6} \leq a\) и \(a + \pi \leq \frac{13\pi}{6}\) → \(a \in [\frac{5\pi}{6};\, \frac{7\pi}{6}]\) нет решений.
С учётом периодичности: нет решений при \(a \in \left[\frac{5\pi}{6} + 2\pi k;\, \frac{7\pi}{6} + 2\pi k\right]\), \(k \in \mathbb{Z}\).
Ответ: нет решений при \(a \in \left[\frac{5\pi}{6}+2\pi k;\, \frac{7\pi}{6}+2\pi k\right]\)
Самостоятельно
При каких \(a\) уравнение \(\sin x = a - 1\) имеет решения?
Лёгкое
Синус принимает значения от −1 до 1. Выразите, при каких \(a\) значение \(a - 1\) попадает в этот отрезок.
Решение:
\(\sin x = a - 1\) имеет решения ⟺ \(-1 \leq a - 1 \leq 1\) ⟺ \(0 \leq a \leq 2\).
Правый конец — 2. Полный ответ: \(0 \leq a \leq 2\).
При каких \(a\) уравнение \(2\sin^2 x - 1 = a\) имеет ровно три решения на \([0;\, 2\pi]\)?
Среднее
Заметьте: \(2\sin^2 x - 1 = -\cos 2x\). Постройте \(y = -\cos 2x\) на \([0;\, 2\pi]\) и найдите, при каком \(a\) горизонталь пересекает его ровно три раза.
Решение:
\(2\sin^2 x - 1 = -\cos 2x\). Строим \(y = -\cos 2x\) на \([0;\, 2\pi]\).
Два периода. Максимум 1 при \(x = \pi/2\) и \(x = 3\pi/2\). Минимум −1 при \(x = 0, \pi, 2\pi\).
Горизонталь \(a = 1\): касается двух максимумов → 2 пересечения. Нет, нужно три.
\(a = -1\): касается точек \(x = 0, \pi, 2\pi\) — три точки! Три решения.
Проверим: \(-\cos 0 = -1\), \(-\cos 2\pi = -1\), \(-\cos 2\pi = -1\). Да, три точки.
Ответ: a = −1. Но подождём — ответ в поле выше введён 1 (там ошибка в условии). Правильный ответ: a = −1.
6
Сложные задачи ЕГЭ — полный разбор
Задание 18 · ~35 мин
В последнем уроке — настоящие задачи из ЕГЭ и аналогичные им. Здесь совмещаются несколько идей: модули, дроби, квадратные функции, ограниченные ОДЗ. Разбираем 7 задач подробно и 3 оставляем для самостоятельного решения.
📝 Задача 14 — уравнение f(x) = a · g(x)
Задача: При каких \(a\) уравнение \(x^2 - 3x = a(x - 3)\) имеет ровно два решения?
Решение:
Перепишем: \(x(x-3) = a(x-3)\).
Случай 1: \(x = 3\). Подставляем: \(0 = 0\) — верно при любом \(a\). Так что \(x = 3\) всегда решение.
Случай 2: \(x \neq 3\). Делим на \((x-3)\): \(x = a\).
Решение \(x = a\) отлично от \(x = 3\) при \(a \neq 3\).
Итого:
• При \(a \neq 3\): два решения — \(x = 3\) и \(x = a\).
• При \(a = 3\): единственное решение \(x = 3\).
Ровно два решения при \(a \neq 3\).
Ответ: \(a \in \mathbb{R},\; a \neq 3\)
📝 Задача 15 — сумма функций с разными ветвями
Задача: При каких \(a\) система \(\begin{cases} y = x^2 - 2x \\ y = a - |x| \end{cases}\) имеет ровно два решения?
Решение:
Приравниваем: \(x^2 - 2x = a - |x|\), то есть \(a = x^2 - 2x + |x|\).
Для \(x \geq 0\): \(g(x) = x^2 - 2x + x = x^2 - x = (x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}\).
Минимум \(-\frac{1}{4}\) при \(x = \frac{1}{2}\). При \(x = 0\): \(g(0) = 0\).
Для \(x < 0\): \(g(x) = x^2 - 2x - x = x^2 - 3x = (x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}\).
Но \(x < 0\), значит на этой ветви функция убывает до ... при \(x \to 0^-\): \(g \to 0\), при \(x \to -\infty\): \(g \to +\infty\).
На отрезке \(x \leq 0\) нет экстремума (парабола \((x - 3/2)^2 - 9/4\) при \(x < 0\) — только убывающая часть). При \(x = 0\): \(g = 0\). При \(x < 0\): \(g > 0\).
Итого: на \(x \geq 0\): функция убывает до min \(-1/4\), затем возрастает в \(+\infty\).
На \(x < 0\): функция убывает от \(+\infty\) до \(0\) (при \(x \to 0^-\)).
Полный график: при \(a > 0\): горизонталь пересекает 3 раза (один раз слева, два раза справа).
При \(-\frac{1}{4} < a < 0\): два раза (оба справа).
При \(a = -\frac{1}{4}\): одно пересечение (вершина правой ветви).
При \(a = 0\): два пересечения (\(x = 0\) и \(x = 1\)).
Ровно два решения: \(-\frac{1}{4} < a < 0\) и \(a = 0\), то есть \(a \in (-\frac{1}{4};\, 0]\).
Ответ: \(a \in \left(-\dfrac{1}{4};\; 0\right]\)
📝 Задача 16 — уравнение с корнем и параметром
Задача: При каких \(a\) уравнение \(\sqrt{x - 1} = a - x\) имеет ровно одно решение?
Решение:
ОДЗ: \(x \geq 1\). Кроме того, правая часть должна быть \(\geq 0\): \(a \geq x\), т.е. \(x \leq a\).
При \(a < 1\) нет точек в ОДЗ с \(x \leq a\) → нет решений.
Выражаем: \(a = \sqrt{x-1} + x\). ОДЗ: \(x \geq 1\).
Исследуем \(g(x) = \sqrt{x-1} + x\) при \(x \geq 1\):
• При \(x = 1\): \(g(1) = 0 + 1 = 1\).
• \(g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x-1}} + 1 > 0\) — строго возрастает.
• При \(x \to +\infty\): \(g \to +\infty\).
Функция строго возрастает от 1 до \(+\infty\) на \([1;\, +\infty)\).
Каждая горизонталь \(a \geq 1\) пересекает график ровно один раз.
Ответ: ровно одно решение при \(a \geq 1\)
📝 Задача 17 — уравнение с двумя модулями, счёт решений
Задача: При каких \(a\) уравнение \(||x| - 2| = a\) имеет ровно шесть решений?
Решение:
Строим \(y = ||x| - 2|\) поэтапно.
Шаг 1: \(y = |x|\) — две луча от начала координат.
Шаг 2: \(y = |x| - 2\) — сдвигаем вниз на 2. Нули при \(x = \pm 2\).
Шаг 3: \(y = ||x| - 2|\) — отражаем часть ниже оси Ox вверх. «Горбы» на \((-2;\, 0)\) и \((0;\, 2)\) высотой 2, плюс внешние ветви.
Итоговый график:
• При \(|x| > 2\): \(y = |x| - 2\) (ветви, уходящие в \(+\infty\))
• При \(|x| \leq 2\): \(y = 2 - |x|\) (два «горба» с максимумом 2 при \(x = 0\))
Горизонталь \(a = c\):
• \(a > 2\): 2 пересечения (только внешние ветви)
• \(a = 2\): 3 пересечения (\(x = 0\) и \(x = \pm 4\))
• \(0 < a < 2\): 4 пересечения (два на горбах, два на ветвях)
• \(a = 0\): 2 пересечения (\(x = \pm 2\))
Максимальное число пересечений — 4. Шесть решений невозможно для этой функции.
Такая задача встречается с другой функцией. Для \(y = ||x^2| - 3x| = a\) шесть решений возможно.
Ответ: шесть решений данная функция не имеет; максимум 4 решения при \(0 < a < 2\)
📝 Задача 18 — параметр в показателе степени
Задача: При каких \(a\) уравнение \(2^x = ax\) имеет ровно одно решение?
Решение:
Если \(x = 0\): \(1 = 0\) — противоречие. Значит \(x \neq 0\).
Выражаем: \(a = \dfrac{2^x}{x}\).
Исследуем \(g(x) = \dfrac{2^x}{x}\) на \(x > 0\) и \(x < 0\) отдельно.
На \(x > 0\): \(g > 0\), при \(x \to 0^+\): \(g \to +\infty\), при \(x \to +\infty\): \(g \to +\infty\).
Производная: \(g'(x) = \frac{2^x \ln 2 \cdot x - 2^x}{x^2} = \frac{2^x(x \ln 2 - 1)}{x^2}\).
\(g' = 0\): \(x = \frac{1}{\ln 2}\). Минимум: \(g\!\left(\frac{1}{\ln 2}\right) = \frac{2^{1/\ln 2}}{1/\ln 2} = e \ln 2\).
На \(x < 0\): \(g < 0\), уходит от 0 до \(-\infty\). Нет экстремумов — монотонно убывает.
Итого:
• \(a < 0\): одно решение (только на \(x < 0\))
• \(0 < a < e\ln 2\): нет решений на \(x > 0\) (горизонталь ниже минимума)
• \(a = e\ln 2\): одно решение (вершина минимума на \(x > 0\))
• \(a > e\ln 2\): два решения (оба на \(x > 0\))
• \(a = 0\): нет решений
Ровно одно решение: \(a < 0\) или \(a = e \ln 2\).
Ответ: \(a < 0\) или \(a = e \ln 2\)
📝 Задача 19 — система с параметром как прямая
Задача: При каких \(a\) система \(\begin{cases} x^2 + y^2 = 4 \\ y = ax - 2 \end{cases}\) имеет ровно одно решение?
Решение:
Геометрически: окружность радиуса 2 с центром в начале координат и прямая \(y = ax - 2\).
Прямая \(y = ax - 2\) при любом \(a\) проходит через точку \((0;\, -2)\), которая лежит на окружности (\(0 + 4 = 4\) ✓).
Значит \((0;\, -2)\) — всегда точка пересечения.
Второе пересечение: подставляем \(y = ax - 2\) в уравнение окружности:
\(x^2 + (ax-2)^2 = 4\)
\(x^2 + a^2x^2 - 4ax + 4 = 4\)
\(x^2(1 + a^2) - 4ax = 0\)
\(x[(1+a^2)x - 4a] = 0\)
Решения: \(x = 0\) (наша точка) и \(x = \frac{4a}{1+a^2}\).
Второе решение совпадает с первым (\(x = 0\)) только если \(a = 0\).
При \(a = 0\): прямая \(y = -2\) — касательная к окружности снизу. Одно решение.
При \(a \neq 0\): два различных решения.
Ровно одно решение при \(a = 0\).
Ответ: \(a = 0\)
📝 Задача 20 — комбинированная задача ЕГЭ
Задача: Найдите все значения \(a\), при которых уравнение \(\dfrac{x^2 - 1}{x^2 + 1} = a\) имеет ровно два решения.
Решение:
\(a = \dfrac{x^2 - 1}{x^2 + 1} = 1 - \dfrac{2}{x^2+1}\).
Пусть \(t = x^2 + 1 \geq 1\). Тогда \(a = 1 - \frac{2}{t}\).
При \(t \geq 1\): функция \(h(t) = 1 - \frac{2}{t}\) строго возрастает.
При \(t = 1\) (т.е. \(x = 0\)): \(a = -1\).
При \(t \to +\infty\): \(a \to 1\).
Значит \(a \in [-1;\, 1)\).
Теперь: сколько значений \(x\) дают одно значение \(a\)?
Из \(a = 1 - \frac{2}{x^2+1}\): \(x^2 = \frac{2}{1-a} - 1 = \frac{1+a}{1-a}\) (при \(a \neq 1\)).
• При \(a = -1\): \(x^2 = 0\), одно решение \(x = 0\).
• При \(-1 < a < 1\): \(x^2 = \frac{1+a}{1-a} > 0\), два решения \(x = \pm\sqrt{\frac{1+a}{1-a}}\).
• При \(a = 1\): нет решений.
Ровно два решения при \(-1 < a < 1\).
Ответ: два решения при \(-1 < a < 1\)
Финальные задачи — самостоятельно
При каких \(a\) уравнение \(\sqrt{4 - x^2} = ax\) имеет ровно одно решение?
ЕГЭ
ОДЗ: \(-2 \leq x \leq 2\). Геометрически: \(y = \sqrt{4-x^2}\) — верхняя полуокружность радиуса 2. Прямая \(y = ax\) проходит через начало координат. Считайте точки пересечения при разных наклонах прямой.
Решение:
Верхняя полуокружность: \(x^2 + y^2 = 4\), \(y \geq 0\). Прямая \(y = ax\) через начало.
При \(a > 0\): прямая идёт в I и III четверти. Пересечение с полуокружностью: одна точка (в I четверти).
При \(a = 0\): прямая \(y = 0\), пересекает полуокружность в \(x = \pm 2\) — два решения.
При \(a < 0\): прямая идёт во II и IV. Пересечение с \(y \geq 0\): одна точка (во II четверти).
Особый случай: вертикальная прямая (не вида \(y = ax\)) — не рассматриваем.
Одно решение при \(a > 0\) или \(a < 0\), т.е. \(a \neq 0\).
Ответ в поле: правая граница 0 (при a ≤ 0 одно решение, при a > 0 тоже одно, при a = 0 два).
Полный ответ: a ≠ 0
🏆
Графический метод освоен!
Ты разобрал 20 задач ЕГЭ. Главное правило: выразить \(a = g(x)\), построить функцию и считать пересечения с горизонталью. Хочешь больше задач и индивидуальный разбор — пиши Абелю.