Задание 14 — Стереометрия

1

Координатный метод в пространстве

Ключевые формулы · ~15 мин

Идея метода: каждой точке ставим координаты \((x, y, z)\), фигуры описываем векторами. Угол между объектами — через скалярное произведение. Расстояния — через длины векторов.

Это универсальный подход: не нужно «видеть» фигуру — нужно правильно расставить координаты и применить формулы.

Базовые формулы — выучить наизусть

Длина вектора:
\(\vec{a} = (a_x, a_y, a_z) \;\Rightarrow\; |\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}\)

Скалярное произведение:
\(\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z\)

Угол между векторами:
\(\cos\varphi = \dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}\)

Векторное произведение (нормаль к плоскости):
\(\vec{a}\times\vec{b} = \begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\a_x&a_y&a_z\\b_x&b_y&b_z\end{vmatrix} = (a_y b_z - a_z b_y,\; a_z b_x - a_x b_z,\; a_x b_y - a_y b_x)\)

📌 Алгоритм аналитического метода

Введи систему координат — вершина в начало, рёбра вдоль осей
Запиши координаты всех нужных точек
Составь нужные векторы
Примени формулу скалярного или векторного произведения
Вычисли угол или расстояние

📌 Угол между прямыми и плоскостями

Угол между двумя прямыми (направляющие \(\vec{l_1}, \vec{l_2}\)):
\(\cos\varphi = \dfrac{|\vec{l_1}\cdot\vec{l_2}|}{|\vec{l_1}|\cdot|\vec{l_2}|}\) (берём модуль, угол острый)

Угол между прямой и плоскостью (вектор \(\vec{l}\), нормаль \(\vec{n}\)):
\(\sin\varphi = \dfrac{|\vec{l}\cdot\vec{n}|}{|\vec{l}|\cdot|\vec{n}|}\)

Угол между двумя плоскостями (нормали \(\vec{n_1}, \vec{n_2}\)):
\(\cos\varphi = \dfrac{|\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}|}{|\vec{n_1}|\cdot|\vec{n_2}|}\)

💡

Как найти нормаль к плоскости: если знаешь два вектора в плоскости \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) — нормаль это их векторное произведение \(\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}\). Или: составь уравнение плоскости через три точки.

2

Куб и прямоугольный параллелепипед

Расстановка координат · разборы

Куб — самая частая фигура в задании 14. Ставим одну вершину в начало координат, рёбра — вдоль осей. Если сторона куба \(a\) — все координаты кратны \(a\).

Координаты куба со стороной a

\(A = (0,0,0)\) — начало координат
\(B = (a,0,0)\) — вдоль оси \(x\)
\(C = (a,a,0)\) — угол основания
\(D = (0,a,0)\) — вдоль оси \(y\)
\(A_1 = (0,0,a)\), \(B_1 = (a,0,a)\)
\(C_1 = (a,a,a)\), \(D_1 = (0,a,a)\)

Диагональ куба: \(\overrightarrow{AC_1} = (a,a,a)\), длина \(= a\sqrt{3}\)

Разбор 1 — ЕГЭ

Найдите угол между диагональю куба и плоскостью основания

1

Координаты

Куб со стороной 1. \(A=(0,0,0)\), \(C_1=(1,1,1)\). Диагональ \(\overrightarrow{AC_1}=(1,1,1)\).

2

Нормаль к плоскости основания

Плоскость основания \(z=0\), нормаль \(\vec{n}=(0,0,1)\).

3

Угол между прямой и плоскостью

\(\sin\varphi = \dfrac{|\vec{l}\cdot\vec{n}|}{|\vec{l}|\cdot|\vec{n}|} = \dfrac{|(1,1,1)\cdot(0,0,1)|}{\sqrt{3}\cdot 1} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
\(\varphi = \arcsin\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \arctan\dfrac{1}{\sqrt{2}} \approx 35{,}26°\)

Ответ

\(\varphi = \arcsin\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \arctan\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

Практика

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ со стороной 2. Найдите длину отрезка B₁D.

Лёгкое

Запиши координаты B₁ и D. B₁ = (2,0,2), D = (0,2,0). Найди длину вектора \(\overrightarrow{B_1D}\).

\(\overrightarrow{B_1D} = D - B_1 = (0-2,\; 2-0,\; 0-2) = (-2, 2, -2)\). \(|B_1D| = \sqrt{4+4+4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\).

3

Пирамиды: координаты и нормали

Правильная и произвольная пирамида

Для пирамиды: основание кладём в плоскость \(z=0\), апекс ищем из условий (для правильной — над центром основания).

Правильная треугольная пирамида

Основание — равносторонний треугольник со стороной \(a\)
\(A=(0,0,0)\), \(B=(a,0,0)\), \(C=\!\left(\dfrac{a}{2},\dfrac{a\sqrt{3}}{2},0\right)\)
Центр основания \(O = \left(\dfrac{a}{2},\dfrac{a\sqrt{3}}{6},0\right)\)
Апекс \(S = \left(\dfrac{a}{2},\dfrac{a\sqrt{3}}{6},h\right)\)
Высота \(h\) задаётся условием задачи

Правильная четырёхугольная пирамида

Основание — квадрат со стороной \(a\)
\(A=(0,0,0)\), \(B=(a,0,0)\), \(C=(a,a,0)\), \(D=(0,a,0)\)
Центр \(O=\left(\dfrac{a}{2},\dfrac{a}{2},0\right)\)
Апекс \(S=\left(\dfrac{a}{2},\dfrac{a}{2},h\right)\)
Если правильная — \(h\) из условия задачи

Разбор 2 — ЕГЭ

Правильная четырёхугольная пирамида SABCD, AB=2, SA=2√2. Угол между SA и основанием.

1

Координаты

\(A=(0,0,0)\), \(B=(2,0,0)\), \(C=(2,2,0)\), \(D=(0,2,0)\).
\(SA=2\sqrt{2}\), высота \(h^2+|AO|^2=SA^2\). \(|AO|=\sqrt{2}\). \(h^2=8-2=6\), \(h=\sqrt{6}\).
\(S=(1,1,\sqrt{6})\).

2

Вектор SA и нормаль к основанию

\(\overrightarrow{SA} = A - S = (-1,-1,-\sqrt{6})\).
Нормаль к основанию \(\vec{n}=(0,0,1)\).

3

Угол между прямой и плоскостью

\(\sin\varphi = \dfrac{|\overrightarrow{SA}\cdot\vec{n}|}{|\overrightarrow{SA}|\cdot|\vec{n}|} = \dfrac{|-\sqrt{6}|}{\sqrt{1+1+6}\cdot 1} = \dfrac{\sqrt{6}}{2\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\varphi = \arcsin\dfrac{\sqrt{3}}{2} = 60°\)

Ответ

\(\varphi = 60°\)

Практика

Правильная четырёхугольная пирамида, сторона основания 4, высота 3. Найдите длину апофемы боковой грани.

Лёгкое

Апофема — высота боковой грани (треугольника). Основание апофемы — середина стороны основания. Используй Пифагора.

Центр основания \(O=(2,2,0)\), середина \(AB\) — точка \(M=(2,0,0)\). Апекс \(S=(2,2,3)\). Апофема = \(SM\): \(\overrightarrow{SM}=(0,-2,-3)\), \(|SM|=\sqrt{0+4+9}=\sqrt{13}\).

4

Угол между прямыми и прямой с плоскостью

Задание 14а — ЕГЭ

В задании 14 обычно два вопроса: а) угол (или расстояние) и б) угол или расстояние посложнее. Угол между прямыми находится через направляющие векторы.

Разбор 3 — ЕГЭ 2023

Куб ABCDA₁B₁C₁D₁, сторона 1. Угол между прямой A₁C и плоскостью ABC.

1

Координаты куба

\(A=(0,0,0)\), \(B=(1,0,0)\), \(C=(1,1,0)\), \(A_1=(0,0,1)\), \(C_1=(1,1,1)\).

2

Направляющий вектор A₁C

\(\overrightarrow{A_1C} = C - A_1 = (1,1,0)-(0,0,1) = (1,1,-1)\).

3

Нормаль к плоскости ABC

Плоскость \(ABC\) — это плоскость \(z=0\). Нормаль \(\vec{n}=(0,0,1)\).

4

Угол

\(\sin\varphi = \dfrac{|\vec{l}\cdot\vec{n}|}{|\vec{l}|\cdot|\vec{n}|} = \dfrac{|(1,1,-1)\cdot(0,0,1)|}{\sqrt{3}\cdot 1} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
\(\varphi = \arcsin\dfrac{\sqrt{3}}{3} \approx 35°16'\)

Ответ

\(\varphi = \arcsin\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \arctan\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)

Разбор 4 — ЕГЭ

Куб со стороной 2. Угол между диагональю B₁D и ребром AB.

1

Векторы

\(B_1=(2,0,2)\), \(D=(0,2,0)\). \(\overrightarrow{B_1D}=(-2,2,-2)\).
Ребро \(AB\): \(\overrightarrow{AB}=(2,0,0)\).

2

Угол между прямыми

\(\cos\varphi = \dfrac{|\overrightarrow{B_1D}\cdot\overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{B_1D}|\cdot|\overrightarrow{AB}|} = \dfrac{|(-2)(2)+0+0|}{2\sqrt{3}\cdot 2} = \dfrac{4}{4\sqrt{3}} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
\(\varphi = \arccos\dfrac{1}{\sqrt{3}} \approx 54°44'\)

Ответ

\(\varphi = \arccos\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)

Практика

Куб ABCDA₁B₁C₁D₁, сторона 1. Найдите угол между диагональю AB₁ и плоскостью ABB₁.

Средний

\(A=(0,0,0)\), \(B=(1,0,0)\), \(B_1=(1,0,1)\). Плоскость \(ABB_1\) — это \(y=0\). Нормаль \(\vec{n}=(0,1,0)\). Найди \(\overrightarrow{AB_1}\) и примени формулу угла прямой с плоскостью.

\(\overrightarrow{AB_1} = (1,0,1)\). Нормаль к \(ABB_1\): \(\vec{n}=(0,1,0)\). \(\sin\varphi = \dfrac{|(1,0,1)\cdot(0,1,0)|}{\sqrt{2}\cdot 1} = \dfrac{0}{\sqrt{2}} = 0\). \(\varphi = 0°\) — прямая \(AB_1\) лежит в плоскости \(ABB_1\)! Угол равен нулю.

Куб со стороной 1. Найдите угол между диагональю грани BD и ребром AB.

Лёгкое

\(B=(1,0,0)\), \(D=(0,1,0)\). \(\overrightarrow{BD}=(-1,1,0)\). Ребро \(\overrightarrow{AB}=(1,0,0)\).

\(\cos\varphi = \dfrac{|(-1,1,0)\cdot(1,0,0)|}{\sqrt{2}\cdot 1} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\). \(\varphi = 45°\).

5

Угол между плоскостями

Нормали плоскостей · задание 14б

Угол между плоскостями = угол между их нормалями. Нормаль к плоскости — вектор, перпендикулярный всем её векторам. Находим через векторное произведение двух векторов плоскости.

Нормаль через векторное произведение

Плоскость задана тремя точками \(P, Q, R\):
\(\vec{u} = \overrightarrow{PQ},\quad \vec{v} = \overrightarrow{PR}\)
\(\vec{n} = \vec{u}\times\vec{v} = (u_y v_z - u_z v_y,\;\; u_z v_x - u_x v_z,\;\; u_x v_y - u_y v_x)\)

Угол между плоскостями:
\(\cos\varphi = \dfrac{|\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}|}{|\vec{n_1}|\cdot|\vec{n_2}|}\)

Разбор 5 — ЕГЭ 2022

Куб ABCDA₁B₁C₁D₁, сторона 1. Угол между плоскостью AB₁C₁ и основанием ABCD.

1

Три точки плоскости AB₁C₁

\(A=(0,0,0)\), \(B_1=(1,0,1)\), \(C_1=(1,1,1)\).

2

Два вектора в плоскости

\(\vec{u} = \overrightarrow{AB_1} = (1,0,1)\)
\(\vec{v} = \overrightarrow{AC_1} = (1,1,1)\)

3

Нормаль к плоскости AB₁C₁

\(\vec{n_1} = \vec{u}\times\vec{v} = \begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\1&0&1\\1&1&1\end{vmatrix}\)
\(= (0\cdot1-1\cdot1,\;1\cdot1-1\cdot1,\;1\cdot1-0\cdot1) = (-1,\;0,\;1)\)

4

Нормаль к основанию и угол

Основание \(z=0\): нормаль \(\vec{n_2}=(0,0,1)\).
\(\cos\varphi = \dfrac{|(-1,0,1)\cdot(0,0,1)|}{|\,(-1,0,1)\,|\cdot 1} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\varphi = 45°\)

Ответ

\(\varphi = 45°\)

Разбор 6 — ЕГЭ (пирамида)

Правильная четырёхугольная пирамида SABCD, AB=2, h=2. Угол между боковой гранью SAB и основанием.

1

Координаты

\(A=(0,0,0)\), \(B=(2,0,0)\), \(C=(2,2,0)\), \(D=(0,2,0)\), \(S=(1,1,2)\).

2

Нормаль к грани SAB

\(\overrightarrow{AS}=(1,1,2)\), \(\overrightarrow{AB}=(2,0,0)\).
\(\vec{n_1} = \overrightarrow{AS}\times\overrightarrow{AB} = (1\cdot0-2\cdot0,\;2\cdot2-1\cdot0,\;1\cdot0-1\cdot2) = (0,4,-2)\).
Упрощаем: \(\vec{n_1}=(0,2,-1)\).

3

Угол с основанием

Нормаль основания \(\vec{n_2}=(0,0,1)\).
\(\cos\varphi = \dfrac{|(0,2,-1)\cdot(0,0,1)|}{\sqrt{5}\cdot 1} = \dfrac{1}{\sqrt{5}}\)
\(\varphi = \arccos\dfrac{1}{\sqrt{5}} = \arctan 2 \approx 63°26'\)

Ответ

\(\varphi = \arctan 2\)

Практика

Куб ABCDA₁B₁C₁D₁ со стороной 1. Найдите угол между плоскостями AB₁D₁ и ABCD.

Средний

\(A=(0,0,0)\), \(B_1=(1,0,1)\), \(D_1=(0,1,1)\). Найди два вектора в плоскости \(AB_1D_1\), посчитай нормаль через их произведение, затем угол с нормалью \((0,0,1)\).

\(\vec{u}=\overrightarrow{AB_1}=(1,0,1)\), \(\vec{v}=\overrightarrow{AD_1}=(0,1,1)\).
\(\vec{n_1}=\vec{u}\times\vec{v}=(0\cdot1-1\cdot1,\;1\cdot0-1\cdot1,\;1\cdot1-0\cdot0)=(-1,-1,1)\).
\(\vec{n_2}=(0,0,1)\).
\(\cos\varphi=\dfrac{|(-1,-1,1)\cdot(0,0,1)|}{\sqrt{3}\cdot1}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\).
Ответ: \(\arccos\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)

6

Задачи уровня ЕГЭ — самостоятельно

Полные задания 14 из реальных ЕГЭ

ЕГЭ. Куб ABCDA₁B₁C₁D₁, сторона 2. а) Найдите угол между A₁B и плоскостью A₁B₁C₁D₁. б) Найдите угол между плоскостью A₁BC и плоскостью ABCD.

ЕГЭ

а) Вектор A₁B: (2,0,−2). Плоскость A₁B₁C₁D₁ — это z=2, нормаль (0,0,1). б) Три точки: A₁=(0,0,2), B=(2,0,0), C=(2,2,0). Найди нормаль к A₁BC.

а) \(\overrightarrow{A_1B}=(2,0,-2)\), норм. \(\vec{n}=(0,0,1)\).
\(\sin\varphi=\dfrac{|(2,0,-2)\cdot(0,0,1)|}{2\sqrt{2}\cdot1}=\dfrac{2}{2\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\). \(\varphi=45°\).

б) \(\overrightarrow{A_1B}=(2,0,-2)\), \(\overrightarrow{A_1C}=(2,2,-2)\).
\(\vec{n_1}=(0\cdot(-2)-(-2)\cdot2,\;(-2)\cdot2-2\cdot(-2),\;2\cdot2-0\cdot2)=(4,0,4)\) → \((1,0,1)\).
\(\vec{n_2}=(0,0,1)\).
\(\cos\varphi=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\). \(\varphi=45°\).

ЕГЭ. Прямоугольный параллелепипед, основание 3×4, высота 5. Найдите угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью основания.

Сложное

Диагональ: из \((0,0,0)\) в \((3,4,5)\). Нормаль к основанию \((0,0,1)\).

\(\vec{d}=(3,4,5)\), \(\vec{n}=(0,0,1)\). \(\sin\varphi=\dfrac{|(3,4,5)\cdot(0,0,1)|}{\sqrt{9+16+25}\cdot1}=\dfrac{5}{\sqrt{50}}=\dfrac{5}{5\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\). \(\varphi=45°\) или \(\arcsin\dfrac{1}{\sqrt{2}}\).

ЕГЭ 2024. Правильная треугольная пирамида SABC, все рёбра равны 2. Найдите угол между смежными боковыми гранями SAB и SAC.

ЕГЭ

Поставь координаты: \(A=(0,0,0)\), \(B=(2,0,0)\), \(C=(1,\sqrt{3},0)\), апекс \(S=(1,\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{2\sqrt{6}}{3})\). Найди нормали к каждой грани через векторное произведение.

Для правильного тетраэдра (все рёбра равны) двугранный угол при боковом ребре: \(\arccos\dfrac{1}{3}\).
Проверка: нормаль к \(SAB\) и нормаль к \(SAC\) — после вычисления скалярного произведения получаем \(\cos\varphi=\dfrac{1}{3}\). Ответ: \(\arccos\dfrac{1}{3}\)

ЕГЭ. Куб со стороной 1. Точка M — середина ребра A₁B₁. Найдите угол между прямой DM и плоскостью ABCD.

Сложное

\(D=(0,1,0)\), \(A_1=(0,0,1)\), \(B_1=(1,0,1)\). \(M\) — середина \(A_1B_1\): \(M=(0.5,0,1)\).

\(\overrightarrow{DM}=M-D=(0.5,-1,1)\). Нормаль к \(ABCD\): \(\vec{n}=(0,0,1)\).
\(\sin\varphi=\dfrac{|(0.5,-1,1)\cdot(0,0,1)|}{\sqrt{0.25+1+1}\cdot1}=\dfrac{1}{\sqrt{2.25}}=\dfrac{1}{1.5}=\dfrac{2}{3}\).
Ответ: \(\arcsin\dfrac{2}{3}\)

Стереометрия:
аналитический метод

Стереометрия покорена!

Стереометрия:аналитический метод

Стереометрия покорена!

Стереометрия:
аналитический метод