Задание 18 ЕГЭ — Задачи с параметром
Разбор 14 прототипов из сборника 2018 года. Подробные решения, ключевые идеи, геометрические иллюстрации. Только 1% выпускников решают задание 18 — освойте все типовые методы.
🔵 Геометрический метод🔴 Замена переменной🟡 Анализ функции🟢 Параметр как координата
Урок 1
Окружности и прямые
📐 Опорные формулы
Расстояние от точки \(M(x_0;y_0)\) до прямой \(ax+by+c=0\): \[\rho=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\]Касание окружностей (расстояние \(d\), радиусы \(R,r\)):
\[\text{внешнее: }R+r=d\qquad\text{внутреннее: }|R-r|=d\]
\[\text{внешнее: }R+r=d\qquad\text{внутреннее: }|R-r|=d\]
Задача 1Система с логарифмом и двумя окружностями
Условие. Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых система уравнений
\[\begin{cases}\bigl((x+5)^2+y^2-a^2\bigr)\ln(9-x^2-y^2)=0\\\bigl((x+5)^2+y^2-a^2\bigr)(x+y-a+5)=0\end{cases}\]
имеет ровно два различных решения.📐 Решение
1Область допустимых значений. Из \(\ln(9-x^2-y^2)\) требуем \(9-x^2-y^2>0\), то есть все решения лежат строго внутри круга \(x^2+y^2<9\).
2Первая скобка = 0. Если \((x+5)^2+y^2=a^2\), оба уравнения обращаются в тождество. Это окружности с центром \(O_1(-5;0)\), \(R=|a|\) и круг с центром \(O_2(0;0)\), \(r=3\), расстояние \(O_1O_2=5\).
Чтобы окружность не пересекала круг более чем в одной точке:\[\begin{bmatrix}R+r\leqslant 5\\R-r\geqslant 5\end{bmatrix}\Longleftrightarrow\begin{bmatrix}|a|\leqslant 2\\|a|\geqslant 8\end{bmatrix}\]Первая скобка не даёт решений при \(a\in(-\infty,-8]\cup[-2,2]\cup[8,+\infty)\).
3Вторая подсистема. При \((x+5)^2+y^2\neq a^2\):
\[\begin{cases}x^2+y^2=8\\y=-x+a-5\end{cases}\]
Подставляем прямую: \(2x^2+2(5-a)x+a^2-10a+17=0\). Два корня при \(D>0\):\[D=4(5-a)^2-8(a^2-10a+17)>0\Longleftrightarrow a\in(1;9)\]
4Итог. Пересекаем оба условия:
Ответ: \(a\in(1;2]\cup[8;9)\).
💡 Ключевая идея: Условия внешнего \((R+r=d)\) и внутреннего \(|R-r|=d\) касания окружностей. Расстояние от точки до прямой: \(\rho=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\).
Задача 2Прямая, касающаяся окружности сверху
Условие. Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых система
\[\begin{cases}(x^2+y^2+6x)\ln\!\left(\frac{3x+4y+a}{20}\right)=0\\(x^2+y^2+6x)(x^2+y^2-12x)=0\end{cases}\]
имеет ровно два различных решения.📐 Решение
1ОДЗ. \(3x+4y+a>0\) — все решения лежат в полуплоскости выше прямой \(3x+4y+a=0\).
2Первая скобка = 0. \((x+3)^2+y^2=9\) — окружность \(O_1(-3;0)\), \(R=3\). Расстояние от \(O_1\) до прямой:
\[\rho=\frac{|{-9}+a|}{5}=3\Rightarrow a=-6\text{ (верхнее касание) или }a=24\]
При \(a\leqslant-6\) окружность целиком в полуплоскости — первая скобка не даёт решений.
3Вторая подсистема. При \(x^2+y^2+6x\neq0\):
\[\begin{cases}3x+4y+a-20=0\\(x-6)^2+y^2=36\end{cases}\]
Два пересечения, когда \(\rho=\frac{|18+a-20|}{5}=\frac{|a-2|}{5}<6\Leftrightarrow a\in(-28;32)\).4Объединяем: \(a\leqslant-6\) и \(a\in(-28;32)\).
Ответ: \(a\in(-28;-6]\).
Задача 3Семейство прямых и касание двух окружностей
Условие. Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых система
\[\begin{cases}(x+y-2a)\sqrt{8x-x^2-y^2}=0\\(x+y-2a)\bigl(x^2+(y+3)^2-a^2\bigr)=0\end{cases}\]
имеет ровно два различных решения.📐 Решение
1ОДЗ. \(8x-x^2-y^2\geqslant0\Leftrightarrow(x-4)^2+y^2\leqslant16\) — замкнутый круг \(O_1(4;0)\), \(r=4\).
2Первая скобка = 0. Прямая \(x+y=2a\) касается круга \((x-4)^2+y^2\leqslant16\) при:
\[\rho=\frac{|4-2a|}{\sqrt{2}}=4\Leftrightarrow a=2\pm2\sqrt{2}\]
При \(a\in(2-2\sqrt{2};2+2\sqrt{2})\) прямая секёт круг (бесконечно много решений — не подходит).
3Вторая подсистема. \((x-4)^2+y^2=16\) и \(x^2+(y+3)^2=a^2\). Центры \(O_1(4;0)\), \(O_2(0;-3)\), расстояние \(O_1O_2=5\). Два решения при:
\[|\,|a|-4\,|<5<|a|+4\Leftrightarrow a\in(-9;-1)\cup(1;9)\]
4Пересечение условий (прямая не секёт круг) и (две окружности пересекаются):
Ответ: \(a\in(-9;-3)\cup(2+2\sqrt{2};\,9)\).
Урок 2
Гиперболы, параболы и окружность
📐 Опорные идеи
Гипербола \(xy=c>0\) — в I и III четвертях; \(xy=c<0\) — в II и IV.
Касание гиперболы с окружностью ищем по линии симметрии \(y=x\) или \(y=-x\).
При \(y^2=x^2\) разбиваем на совокупность \(y=x\) и \(y=-x\), считаем дискриминанты.
Касание гиперболы с окружностью ищем по линии симметрии \(y=x\) или \(y=-x\).
При \(y^2=x^2\) разбиваем на совокупность \(y=x\) и \(y=-x\), считаем дискриминанты.
Задача 4Окружность и гипербола
Условие. Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых система
\[\begin{cases}x^2+y^2=a^2\\xy=a^2-3a\end{cases}\]
имеет ровно два различных решения.📐 Решение
1Первое уравнение — окружность радиуса \(|a|\). Второе уравнение \(xy=c\): при \(c>0\) — гипербола в I и III четвертях; при \(c<0\) — во II и IV.
2Случай \(a=0\): система \(x^2+y^2=0\), \(xy=0\) имеет одно решение \((0;0)\). Не подходит.
3Случай \(a^2-3a>0\) (\(a>3\) или \(a<0\)): гипербола в I и III четвертях. Два решения при касании по биссектрисе \(y=x\). Подставляем \(y=x\):
\[2x^2=a^2\text{ и }x^2=a^2-3a\Rightarrow a^2=2a^2-6a\Rightarrow a=6\]
При \(a=6\): \(a^2-3a=18>0\) — подходит.4Случай \(0<a<3\): гипербола во II и IV. Касание по \(y=-x\):
\[2x^2=a^2\text{ и }-x^2=a^2-3a\Rightarrow a=2\]
При \(a=2\): \(a^2-3a=-2<0\) — подходит.Ответ: \(a=2\) и \(a=6\).
Задача 5Окружность единичного радиуса и прямые y = ±x
Условие. Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых система
\[\begin{cases}x^2+y^2-4(a+1)x-2ay+5a^2+8a+3=0\\y^2=x^2\end{cases}\]
имеет ровно четыре различных решения.📐 Решение
1Ключевое наблюдение. Перепишем первое уравнение в стандартном виде: центр \(M=(2(a+1),\,a)\), радиус \(R=1\) при всех \(a\). Окружность единичного радиуса, чей центр движется по прямой.
2Второе уравнение: \(y=x\) или \(y=-x\). Подставляя в первое, получаем:
\[\begin{cases}2x^2-2(3a+2)x+5a^2+8a+3=0\quad(y=x)\\2x^2-2(a+2)x+5a^2+8a+3=0\quad(y=-x)\end{cases}\]
3Исключение. При \(x=0\): \(5a^2+8a+3=0\Rightarrow a=-1\) или \(a=-3/5\). Исключаем.
4Условие двух корней. Дискриминанты обоих уравнений > 0:
\[\begin{cases}4(3a+2)^2-8(5a^2+8a+3)>0\\4(a+2)^2-8(5a^2+8a+3)>0\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}a^2+4a+2<0\\9a^2+12a+2<0\end{cases}\]
Ответ: \(a\in\left(\frac{-2-\sqrt{2}}{2};-1\right)\cup\left(-1;-\frac{3}{5}\right)\cup\left(-\frac{3}{5};\sqrt{2}-2\right)\).
Задача 6Парабола с параметром и прямые y = ±x
Условие. Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых система
\[\begin{cases}y=(a+3)x^2+2ax+a-3\\y^2=x^2\end{cases}\]
имеет ровно четыре различных решения.📐 Решение
1Разбиение: \(y=x\) или \(y=-x\). Подставляем поочерёдно:
\[\begin{bmatrix}(a+3)x^2+(2a-1)x+a-3=0\quad(y=x)\\(a+3)x^2+(2a+1)x+a-3=0\quad(y=-x)\end{bmatrix}\]
2Особый случай \(a=-3\): уравнения становятся линейными, каждое даёт 1 корень. Всего 2 — не подходит.
3Исключение. При \(x=0\): \(a-3=0\Rightarrow a=3\). Исключаем.
4Дискриминанты обоих уравнений (при \(a\neq-3\)) положительны:
\[(2a-1)^2-4(a+3)(a-3)>0\Leftrightarrow-8a^2+4a+37>0\]\[(2a+1)^2-4(a+3)(a-3)>0\Leftrightarrow-8a^2-4a+37>0\]Оба выполнены при \(|a|<37/4\).
Ответ: \(a\in\left(-\frac{37}{4};-3\right)\cup(-3;3)\cup\left(3;\frac{37}{4}\right)\).
Урок 3
Произведение множителей
📐 Опорные идеи
\(A\cdot B=0\Leftrightarrow A=0\) или \(B=0\) — разбиваем на совокупность систем.
Расстояние от начала до прямой \(x+ay=c\): \(\rho=\frac{|c|}{\sqrt{1+a^2}}\).
Замена \(t=x^2\geqslant0\) переводит \(x^4\) в \(t^2\) — задача о пересечении в плоскости \((t,y)\).
Расстояние от начала до прямой \(x+ay=c\): \(\rho=\frac{|c|}{\sqrt{1+a^2}}\).
Замена \(t=x^2\geqslant0\) переводит \(x^4\) в \(t^2\) — задача о пересечении в плоскости \((t,y)\).
Задача 7Две параллельные прямые и окружность
Условие. Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых система
\[\begin{cases}(x+ay-3)(x+ay-3a)=0\\x^2+y^2=8\end{cases}\]
имеет ровно четыре различных решения.📐 Решение
1Первое уравнение задаёт две параллельные прямые \(\ell_1: x+ay=3\) и \(\ell_2: x+ay=3a\). Расстояния от начала координат:
\[\rho_1=\frac{3}{\sqrt{1+a^2}},\quad \rho_2=\frac{3|a|}{\sqrt{1+a^2}}\]
2Каждая прямая пересекает окружность \(R=2\sqrt{2}\) в двух точках, если расстояние меньше \(R\):
\[\rho_1^2<8\Leftrightarrow\frac{9}{1+a^2}<8\Leftrightarrow a^2>\tfrac{1}{8}\]\[\rho_2^2<8\Leftrightarrow\frac{9a^2}{1+a^2}<8\Leftrightarrow a^2<8\]
3Прямые не совпадают при \(a\neq1\). Итого: \(\tfrac{1}{8}<a^2<8\) и \(a\neq1\).
Ответ: \(a\in\left(-\sqrt{8};-\frac{1}{\sqrt{8}}\right)\cup\left(\frac{1}{\sqrt{8}};1\right)\cup\left(1;\sqrt{8}\right)\).
Задача 8Разложение на совокупность: x = 1 или y = x
Условие. Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых система
\[\begin{cases}ax^2+ay^2-(2a-5)x+2ay+1=0\\x^2+y=xy+x\end{cases}\]
имеет ровно четыре различных решения.📐 Решение
1Преобразование второго уравнения:
\[x^2+y=xy+x\Leftrightarrow x(x-y)-(x-y)=0\Leftrightarrow(x-1)(x-y)=0\]
Итак: \(x=1\) или \(y=x\).2При \(x=1\): \(ay^2+2ay+(6-a)=0\). Два решения при \(D=4a(2a-6)>0\Leftrightarrow a<0\) или \(a>3\).
3При \(y=x\): \(2ax^2+5x+1=0\). Два решения при \(a\neq0\) и \(25-8a>0\Leftrightarrow a<25/8\).
4Проверка совпадений. При \(a=-3\) оба набора дают точку \((1;1)\) → только 3 решения. Исключаем.
Условие 4 решений: \(a\in(-\infty;0)\cup(3;25/8)\) и \(a\neq-3\).
Ответ: \(a\in(-\infty;-3)\cup(-3;0)\cup\bigl(3;\tfrac{25}{8}\bigr)\).
Задача 9Замена x² = t: окружность и прямая в новой плоскости
Условие. Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых система
\[\begin{cases}x^4+y^2=2a-7\\x^2+y=|a-3|\end{cases}\]
имеет ровно четыре различных решения.📐 Решение
1Замена \(t=x^2\geqslant0\). Система принимает вид:
\[\begin{cases}t^2+y^2=2a-7\\t+y=|a-3|\end{cases}\]
В плоскости \((t,y)\): окружность радиуса \(R=\sqrt{2a-7}\) и прямая \(y=-t+|a-3|\).
2Ключевой факт. Каждое \(t>0\) даёт два значения \(x=\pm\sqrt{t}\). Значит, нужно ровно 2 точки пересечения при \(t>0\).
3Расстояние от \(O(0,0)\) до прямой \(t+y=|a-3|\) равно \(\rho=\frac{|a-3|}{\sqrt{2}}\). Условие двух пересечений при \(t>0\):
\[|a-3|>\sqrt{2a-7}\quad\text{и}\quad|a-3|<\sqrt{2}\cdot\sqrt{2a-7}\]\[\Leftrightarrow\begin{cases}a^2-8a+16>0\\a^2-10a+23<0\end{cases}\]
Ответ: \(a\in\bigl(5-\sqrt{2};\,4\bigr)\cup\bigl(4;\,5+\sqrt{2}\bigr)\).
💡 Ключевая идея: Замена \(t=x^2\) переводит \(x^4\) в \(t^2\). Каждому \(t>0\) соответствует \(x=\pm\sqrt{t}\), поэтому ищем 2 пересечения при \(t>0\).
Урок 4
Замена переменной и область значений
📐 Опорные идеи
Сложение/вычитание уравнений системы позволяет выразить \(x^2\) и \(y^2\) по отдельности.
Монотонная функция: уравнение \(f(x)=c\) имеет решение тогда и только тогда, когда \(c\in E(f)\).
Замена \(t=\sqrt{\ldots}\geqslant0\) сводит задачу к анализу области значений.
Монотонная функция: уравнение \(f(x)=c\) имеет решение тогда и только тогда, когда \(c\in E(f)\).
Замена \(t=\sqrt{\ldots}\geqslant0\) сводит задачу к анализу области значений.
Задача 10Деление уравнений системы: линеаризация
Условие. Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых система
\[\begin{cases}x^4-y^4=6a-7\\x^2+y^2=a\end{cases}\]
имеет ровно четыре различных решения.📐 Решение
1Линеаризация. При \(a\neq0\) делим первое уравнение на второе:
\[\frac{x^4-y^4}{x^2+y^2}=(x^2-y^2)=\frac{6a-7}{a}=6-\frac{7}{a}\]
2Слагаем и вычитаем с \(x^2+y^2=a\):
\[x^2=\frac{a^2+6a-7}{2a},\qquad y^2=\frac{a^2-6a+7}{2a}\]
3Условие 4 решений: \(x^2>0\) и \(y^2>0\) одновременно:
\[\frac{(a+7)(a-1)}{a}>0\quad\text{и}\quad\frac{(a-3)^2-2}{a}>0\]\[\Leftrightarrow a\in(1;3-2\sqrt{2})\cup(3+2\sqrt{2};+\infty)\]
Ответ: \(a\in\bigl(1;\,3-2\sqrt{2}\bigr)\cup\bigl(3+2\sqrt{2};\,+\infty\bigr)\).
Задача 11Монотонная функция: минимум ≤ 1
Условие. Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых уравнение
\[\sqrt{x+2a-1}+\sqrt{x-a}=1\]
имеет хотя бы одно решение.📐 Решение
1Монотонность. Функция \(f(x)=\sqrt{x+2a-1}+\sqrt{x-a}\) возрастает (сумма возрастающих). Уравнение \(f(x)=1\) имеет решение тогда и только тогда, когда \(f_{\min}\leqslant1\).
2Метод замены. Пусть \(u=\sqrt{x+2a-1}\geqslant0\), \(v=\sqrt{x-a}\geqslant0\). Тогда:
\[u+v=1\quad\text{и}\quad u^2-v^2=(x+2a-1)-(x-a)=3a-1\]\[(u+v)(u-v)=3a-1\Rightarrow u-v=3a-1\]\[u=\frac{3a}{2}\geqslant0,\quad v=\frac{2-3a}{2}\geqslant0\]
3Оба неотрицательны при \(0\leqslant a\leqslant\frac{2}{3}\).
Ответ: \(a\in\left[0;\,\dfrac{2}{3}\right]\).
Задача 12Замена переменной и область значений функции
Условие. Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых уравнение
\[(4x-x^2)^2-32\sqrt{4x-x^2}=a^2-14a\]
имеет хотя бы один корень.📐 Решение
1Замена. Обозначим \(t=\sqrt{4x-x^2}=\sqrt{4-(x-2)^2}\in[0;2]\). Тогда \(4x-x^2=t^2\) и уравнение принимает вид \(f(t)=a^2-14a\), где \(f(t)=t^4-32t\).
2Область значений \(f\). Так как \(f'(t)=4t^3-32\leqslant0\) на \([0;2]\), функция убывает:
\[E(f)=[f(2);f(0)]=[-48;0]\]
3Условие совместности: \(a^2-14a\in[-48;0]\):
\[\begin{cases}a^2-14a\geqslant-48\\a^2-14a\leqslant0\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}(a-6)(a-8)\geqslant0\\a(a-14)\leqslant0\end{cases}\]
Ответ: \(a\in[0;6]\cup[8;14]\).
Урок 5
Параметр как координата
📐 Опорные идеи
Параметр \(a\) — вторая координата: строим кривую в плоскости \((x,a)\).
Число решений при данном \(a\) = число пересечений прямой \(a=\text{const}\) с кривой.
\(|s+1|+|s-1|=2\Leftrightarrow s\in[-1;1]\) — стандартный факт.
Число решений при данном \(a\) = число пересечений прямой \(a=\text{const}\) с кривой.
\(|s+1|+|s-1|=2\Leftrightarrow s\in[-1;1]\) — стандартный факт.
Задача 13Сумма модулей: параметр как вторая координата
Условие. Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых уравнение
\[\left|x+\frac{a^2}{x}+1\right|+\left|x+\frac{a^2}{x}-1\right|=2\]
имеет хотя бы один корень.📐 Решение
1Сумма модулей. Замена \(s=x+a^2/x\): уравнение \(|s+1|+|s-1|=2\Leftrightarrow s\in[-1;1]\).
2Неравенство \(-1\leqslant x+a^2/x\leqslant1\) при \(x\neq0\) равносильно:
\[\frac{(x^2-x+a^2)(x^2+x+a^2)}{x^2}\leqslant0\]
Так как \(x^2>0\), числитель \(\leqslant0\), что означает точку \((x,a)\) в объединении двух кругов:\[\left(x-\tfrac{1}{2}\right)^2+a^2\leqslant\tfrac{1}{4}\quad\cup\quad\left(x+\tfrac{1}{2}\right)^2+a^2\leqslant\tfrac{1}{4}\]
3Оба круга имеют радиус \(1/2\), значит вертикальная «высота» объединения: \(|a|\leqslant1/2\).
Ответ: \(a\in\left[-\dfrac{1}{2};\,\dfrac{1}{2}\right]\).
💡 Ключевая идея: Параметр \(a\) рассматривается как координата: задача сводится к геометрии в плоскости \((x,a)\).
Задача 14Парабола в плоскости (x, a): ровно один отрицательный корень
Условие. Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых уравнение
\[\sqrt{x^2+6x+8}=\sqrt{a-3x}\]
имеет ровно один отрицательный корень.📐 Решение
1ОДЗ. \(x^2+6x+8=(x+4)(x+2)\geqslant0\Leftrightarrow x\leqslant-4\) или \(x\geqslant-2\). Также \(a-3x\geqslant0\).
2Возведение в квадрат (корни неотрицательны по ОДЗ):
\[x^2+6x+8=a-3x\Leftrightarrow a=x^2+9x+8\]
Парабола \(a=x^2+9x+8\) с вершиной \(D\!\left(-\frac{9}{2};-\frac{49}{4}\right)\).
3Ключевые точки на допустимых ветвях \((x\leqslant-4\) или \(x\geqslant-2)\):
- \(A(0;8)\) — правая ветвь
- \(B(-2;-6)\) — граница ОДЗ (правая ветвь)
- \(C(-4;-12)\) — граница ОДЗ (левая ветвь)
- \(D(-4.5;-12.25)\) — вершина (левая ветвь)
4Подсчёт отрицательных корней по значению \(a\):
- \(a=-49/4\): ровно один отрицательный корень (вершина). ✓
- \(-12<a<-6\): ровно один корень из левой ветви \((x<0)\). ✓
- \(a\geqslant8\): один корень из левой ветви \((x<0)\). ✓
Ответ: \(a\in\left\{-\dfrac{49}{4}\right\}\cup(-12;-6)\cup[8;+\infty)\).
💡 Ключевая идея: Рассматриваем \(a\) как вторую координату. Считаем, сколько раз горизонтальная прямая \(a=\text{const}\) пересекает параболу в левой полуплоскости \(x<0\).
🎉 Курс завершён!
Вы разобрали все 14 прототипов задания 18. Теперь вы знаете методы, которые работают в 95% вариантов ЕГЭ по математике.
← Вернуться к курсам