/ Задание 13 — Тригонометрия ← На главную
📐 Задание 13 · Профильная математика

Тригонометрические уравнения:
от простых к отбору корней

Простейшие уравнения по таблице, алгоритм отбора корней через окружность. Три этапа решения — как на ЕГЭ.

5
уроков
10
задач ЕГЭ
13
задание профиля
1
Табличные значения тригонометрических функций
Синус, косинус, тангенс — всё что нужно знать наизусть

Для решения задания 13 нужно знать табличные значения sin, cos, tg для углов \(0°, 30°, 45°, 60°, 90°\) (или \(0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}\)).

Угол \(0\) \(\dfrac{\pi}{6}\) \(\dfrac{\pi}{4}\) \(\dfrac{\pi}{3}\) \(\dfrac{\pi}{2}\)
sin \(0\) \(\dfrac{1}{2}\) \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) \(1\)
cos \(1\) \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) \(\dfrac{1}{2}\) \(0\)
tg \(0\) \(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\) \(1\) \(\sqrt{3}\) н/о
💡
Мнемоника для sin: \(0, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1\) — это \(\frac{\sqrt{0}}{2}, \frac{\sqrt{1}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{4}}{2}\). Для cos — тот же ряд в обратном порядке.
📌 Знаки в четвертях

I четверть (0 до π/2): все +.   II (π/2 до π): sin+, cos−, tg−.
III (π до 3π/2): все −.   IV (3π/2 до 2π): sin−, cos+, tg−.

Мнемоника: «Все Студенты Сдали Тест» (I → все, II → sin, III → tg, IV → cos — у каждой буквы положительная функция).

Мини-тест
Чему равно \(\sin\dfrac{\pi}{3}\)?
Лёгкое
\(\sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
Чему равно \(\cos\dfrac{3\pi}{4}\)? (Подсказка: используй знаки в четвертях)
Средний
Угол \(\dfrac{3\pi}{4}\) — во II четверти. Вспомни: косинус во II четверти отрицательный. Опорный угол \(\dfrac{\pi}{4}\).
\(\cos\dfrac{3\pi}{4} = -\cos\dfrac{\pi}{4} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) (II четверть, cos отрицательный).
2
Простейшие тригонометрические уравнения
Формулы sin x = a, cos x = a, tg x = a

Простейшие уравнения решаются по трём формулам. Важно выучить их дословно — на ЕГЭ они применяются напрямую.

Синус
\(\sin x = a \;\Leftrightarrow\; \begin{cases} x = (-1)^n \arcsin a + \pi n,\; n \in \mathbb{Z} \end{cases}\)
Для табличных: \(\sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \;\Rightarrow\; \begin{cases} x = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi n \\ x = \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi n \end{cases}\)
Косинус
\(\cos x = a \;\Leftrightarrow\; x = \pm\arccos a + 2\pi n,\; n \in \mathbb{Z}\)
Для табличных: \(\cos x = \dfrac{1}{2} \;\Rightarrow\; x = \pm\dfrac{\pi}{3} + 2\pi n\)
Тангенс
\(\tan x = a \;\Leftrightarrow\; x = \arctan a + \pi n,\; n \in \mathbb{Z}\)
Для табличных: \(\tan x = \sqrt{3} \;\Rightarrow\; x = \dfrac{\pi}{3} + \pi n\)
⚠️
У синуса два семейства корней (\(\frac{\pi}{3}+2\pi n\) и \(\frac{2\pi}{3}+2\pi n\)), у косинуса тоже два (\(\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n\)), у тангенса — одно (период \(\pi\)).
Практика
Запишите общее решение: \(\cos x = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
Лёгкое
Опорный угол для \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) — это \(\dfrac{\pi}{6}\). Где cos отрицательный?
\(\cos x = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\). Опорный угол \(\dfrac{\pi}{6}\). Cos отрицательный в II и III четвертях. Ответ: \(x = \pm\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi n,\; n \in \mathbb{Z}\)
Запишите оба семейства корней: \(\sin x = -\dfrac{1}{2}\)
Средний
Опорный угол \(\dfrac{\pi}{6}\). Синус \(-\dfrac{1}{2}\) в III и IV четвертях: \(\pi+\dfrac{\pi}{6}\) и \(-\dfrac{\pi}{6}\) (или \(2\pi-\dfrac{\pi}{6}\)).
\(\sin x = -\dfrac{1}{2}\). Опорный угол \(\dfrac{\pi}{6}\). В IV четверти: \(x = -\dfrac{\pi}{6} + 2\pi n\). В III четверти: \(x = \pi + \dfrac{\pi}{6} + 2\pi n = \dfrac{7\pi}{6} + 2\pi n\). Ответ: \(x = -\dfrac{\pi}{6} + 2\pi n\) и \(x = \dfrac{7\pi}{6} + 2\pi n,\; n \in \mathbb{Z}\)
3
Алгоритм отбора корней через окружность
5 шагов — и все корни из отрезка найдены

Когда нужно отобрать корни из отрезка \([A; B]\) — рисуем числовую окружность. Один полный оборот = \(2\pi\). Ключевая идея: находим крайнюю левую точку и штрихуем дугу до крайней правой точки.

⚡ Алгоритм Абеля — 5 шагов
1
Отмечаем левую точку отрезка на окружности
2
Штрихуем против часовой стрелки от левой точки
3
Отмечаем правую точку отрезка на окружности
4
Продолжаем штриховку до правой точки (против часовой)
5
Точки на дугах считаем от ближайшей горизонтали, прибавляя или отнимая меньшую дугу (из ответа пункта а)
💡
Почему против часовой? На числовой окружности числа растут против часовой стрелки — при движении из точки \(A\) (левый конец) в точку \(B\) (правый конец) мы как раз проходим все числа от \(A\) до \(B\).
📐
Шаг 5 подробнее: если на дуге попала точка решения — смотрим, от какой горизонтали она ближе. Если ближе к правой горизонтали (\(0\) или \(\pi\)) — прибавляем дугу; если точка «за» горизонталью — отнимаем. Конкретные формулы — в разборах урока 4.
4
Отбор корней — полные разборы
Три задачи с окружностью, как в ЕГЭ
Разбор 1
Уравнение с синусом · отрезок \(\left[-4\pi;\;-\dfrac{5\pi}{2}\right]\)
а) Решите уравнение \(2\sin^2(x-7\pi) = -\sqrt{3}\cos\!\left(x-\dfrac{7\pi}{2}\right)\)
б) Отберите корни, принадлежащие \(\left[-4\pi;\;-\dfrac{5\pi}{2}\right]\)
1
Упрощение (формулы приведения)
\(2\sin^2(x-7\pi) = -\sqrt{3}\cos\!\left(x-\dfrac{7\pi}{2}\right)\)
\(2\sin^2 x = \sqrt{3}\sin x\)
⟺\(2\sin^2 x - \sqrt{3}\sin x = 0\)
⟺\(\sin x\,(2\sin x - \sqrt{3}) = 0\)
2
Простейшие уравнения
\(\sin x = 0 \;\Rightarrow\; x = \pi k,\; k \in \mathbb{Z}\)
\(\sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \;\Rightarrow\; \begin{cases}x = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi n\\[4pt]x = \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi n\end{cases},\; n \in \mathbb{Z}\)
Ответ пункта а)
\(x = \pi k;\;\; x = \dfrac{\pi}{3}+2\pi n;\;\; x = \dfrac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n,k\in\mathbb{Z}\)
3
Отбор по окружности
+ − −4π −3π x₃ x₄ −5π/2 x₁ x₂
Подсчёт корней (шаг 5)
\(x_1 = -4\pi\)
\(x_2 = -4\pi + \pi = -3\pi\)
\(x_3 = -4\pi + \dfrac{\pi}{3} = -\dfrac{11\pi}{3}\)
\(x_4 = -3\pi - \dfrac{\pi}{3} = -\dfrac{10\pi}{3}\)
Точки \(x_3, x_4\) — от ближайших горизонталей: \(x_3\) правее от \(-4\pi\) на \(\frac{\pi}{3}\), \(x_4\) левее от \(-3\pi\) на \(\frac{\pi}{3}\).
Ответ пункта б)
\(-4\pi;\;\; -3\pi;\;\; -\dfrac{11\pi}{3};\;\; -\dfrac{10\pi}{3}\)
Разбор 2
Уравнение с косинусом · отрезок \(\left[-\pi;\; 2\pi\right]\)
а) Решите уравнение \(\cos 2x = \dfrac{1}{2}\)
б) Отберите корни, принадлежащие \([-\pi;\; 2\pi]\)
1
Замена
Замена \(t = 2x\):
\(\cos t = \dfrac{1}{2} \;\Rightarrow\; t = \pm\dfrac{\pi}{3} + 2\pi n\)
2
Обратная замена
\(2x = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi n \;\Rightarrow\; x = \dfrac{\pi}{6} + \pi n\)
\(2x = -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi n \;\Rightarrow\; x = -\dfrac{\pi}{6} + \pi n\)
Ответ пункта а)
\(x = \dfrac{\pi}{6} + \pi n\) и \(x = -\dfrac{\pi}{6} + \pi n,\quad n \in \mathbb{Z}\)
3
Отбор по окружности
+ − π/6 5π/6 −5π/6 11π/6 7π/6 −π 2π
Корни в \([-\pi;\; 2\pi]\)
Семейство \(\dfrac{\pi}{6}+\pi n\):
\(n=-1\!: -\dfrac{5\pi}{6}\) ✓
\(n=0\!: \dfrac{\pi}{6}\) ✓
\(n=1\!: \dfrac{7\pi}{6}\) ✓
Семейство \(-\dfrac{\pi}{6}+\pi n\):
\(n=1\!: \dfrac{5\pi}{6}\) ✓
\(n=2\!: \dfrac{11\pi}{6}\) ✓
Ответ пункта б) — 5 корней
\(-\dfrac{5\pi}{6};\;\; \dfrac{\pi}{6};\;\; \dfrac{5\pi}{6};\;\; \dfrac{7\pi}{6};\;\; \dfrac{11\pi}{6}\)
Разбор 3
Уравнение с тангенсом · отрезок \(\left[0;\; \pi\right]\)
а) Решите уравнение \(\tan x = -1\)
б) Отберите корни, принадлежащие \([0;\; \pi]\)
1
Решение
\(\tan x = -1\). Опорный угол \(\dfrac{\pi}{4}\). Тангенс отрицательный во II и IV четвертях.
\(x = -\dfrac{\pi}{4} + \pi n,\quad n \in \mathbb{Z}\)
Ответ пункта а)
\(x = -\dfrac{\pi}{4} + \pi n,\quad n \in \mathbb{Z}\)
3
Отбор по окружности
0 π 3π/4
Корни в \([0;\; \pi]\)
\(n=0\!:\; -\dfrac{\pi}{4} < 0\) — не входит
\(n=1\!:\; \dfrac{3\pi}{4} \in [0;\pi]\) ✓
\(n=2\!:\; \dfrac{7\pi}{4} > \pi\) — не входит
Ответ пункта б)
\(x = \dfrac{3\pi}{4}\)
5
Задачи уровня ЕГЭ — самостоятельно
Решай сам — проверяй ответы
а) Решите \(2\cos^2 x - \cos x = 0\).   б) Отберите корни из \(\left[-\pi;\; 0\right]\).
Средний
Разложи: \(\cos x\,(2\cos x - 1) = 0\). Два случая. Корни из \([-\pi;\,0]\) — через окружность.
а) \(\cos x = 0 \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{2}+\pi n\);  \(\cos x = \dfrac{1}{2} \Rightarrow x = \pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi n\).

б) Из \([-\pi;\,0]\):
\(\cos x=0\): \(n=-1 \Rightarrow -\dfrac{\pi}{2}\) ✓
\(\cos x=\frac{1}{2}\): \(n=0 \Rightarrow -\dfrac{\pi}{3}\) ✓; \(\; n=-1 \Rightarrow -\dfrac{\pi}{3}-2\pi\) нет; \(\; n=0 \Rightarrow +\dfrac{\pi}{3}\) нет
\(\cos x=\frac{1}{2}\) отрицательное семейство: \(n=0 \Rightarrow -\dfrac{\pi}{3}\) ✓ (уже); \(\; n=-1 \Rightarrow -\dfrac{\pi}{3}-2\pi\) нет
Стоп, проверим \(-\pi\): \(\cos(-\pi)=-1 \neq 0\) и \(\neq \frac{1}{2}\). Нет.
Корни: \(-\dfrac{\pi}{2};\; -\dfrac{\pi}{3}\)
а) Решите \(\sin 2x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\).   б) Отберите корни из \(\left[0;\; \pi\right]\).
Средний
Замена \(t = 2x\). Найди все \(t\) и верни обратно к \(x\). Потом ограничь \(0 \leq x \leq \pi\).
а) \(\sin t = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\), где \(t=2x\). \(t = \dfrac{\pi}{4}+2\pi n\) или \(t = \dfrac{3\pi}{4}+2\pi n\).
\(x = \dfrac{\pi}{8}+\pi n\) или \(x = \dfrac{3\pi}{8}+\pi n\).

б) В \([0;\pi]\): \(n=0\) даёт \(\dfrac{\pi}{8}\) и \(\dfrac{3\pi}{8}\) — оба ✓. \(n=1\): \(\dfrac{9\pi}{8} > \pi\) нет.
Корни: \(\dfrac{\pi}{8};\; \dfrac{3\pi}{8}\)
а) Решите \(\sqrt{3}\tan x + 1 = 0\).   б) Отберите корни из \(\left[-2\pi;\; -\pi\right]\).
Сложное
Выразить \(\tan x\). Опорный угол \(\dfrac{\pi}{6}\). Отрезок \([-2\pi;\,-\pi]\) — длина \(\pi\), значит попадёт ровно одно значение из каждого семейства.
а) \(\tan x = -\dfrac{1}{\sqrt{3}}\). Опорный угол \(\dfrac{\pi}{6}\). \(x = -\dfrac{\pi}{6}+\pi n,\; n\in\mathbb{Z}\).

б) Подбираем \(n\): \(-2\pi \leq -\dfrac{\pi}{6}+\pi n \leq -\pi\).
\(-2\pi + \dfrac{\pi}{6} \leq \pi n \leq -\pi + \dfrac{\pi}{6}\)
\(-\dfrac{11\pi}{6} \leq \pi n \leq -\dfrac{5\pi}{6}\)
\(-\dfrac{11}{6} \leq n \leq -\dfrac{5}{6}\)
Целое \(n = -1\). Корень: \(x = -\dfrac{\pi}{6} - \pi = -\dfrac{7\pi}{6}\). ✓
Ответ: \(x = -\dfrac{7\pi}{6}\)
а) Решите \(2\sin^2 x + 3\sin x - 2 = 0\).   б) Найдите корни из \(\left[0;\; 2\pi\right]\).
ЕГЭ
Это квадратное уравнение относительно \(\sin x\). Замена \(t = \sin x\), \(|t| \leq 1\). Найди дискриминант, реши, проверь допустимость.
а) \(2t^2+3t-2=0\), \(D=9+16=25\). \(t = \dfrac{-3\pm 5}{4}\). \(t_1=\dfrac{1}{2},\; t_2=-2\).
\(|{-2}| > 1\) — не подходит. Остаётся \(\sin x = \dfrac{1}{2}\).
\(x = \dfrac{\pi}{6}+2\pi n\) или \(x = \dfrac{5\pi}{6}+2\pi n\).

б) В \([0;\,2\pi]\): \(n=0\) даёт \(\dfrac{\pi}{6}\) и \(\dfrac{5\pi}{6}\) — оба ✓.
Корни: \(\dfrac{\pi}{6};\;\dfrac{5\pi}{6}\)
🎯

Тригонометрия освоена!

Ты знаешь таблицу, умеешь решать простейшие уравнения и отбирать корни по окружности за 5 шагов. Следующий уровень — сложные уравнения с преобразованиями.

✈️ Записаться к Абелю